Moja lekcja

W twierdzeniu Schaudera o punkcie stałym zakłada się, że funkcja jest

Ciągła

Orientacja powierzchni to

Ciągłe pole *wersorów normalnych* do powierzchni.

Płat powierzchniowy jest

*Obrazem* funkcji określonej na *podzbiorze płaszczyzny*

Warstwice części rzeczywistej i warstwice części urojonej funkcji różniczkowalnej 𝑓:ℂ → ℂ

Przecinają się pod kątem prostym

Łuk jest

*Obrazem* funkcji ciągłej określonej na *odcinku*

Jeśli Γ ma opis parametryczny 𝜑:[𝑎,𝑏] → ℝ2, to całka ∫ 𝑓1(𝑥1,𝑥2)ⅆ𝑥1 + 𝑓2(𝑥1,𝑥2)ⅆ𝑥2 𝛤 jest równa

∫_(a) ^(b) [𝑓1(𝜑(𝑡))𝜑1 ′(𝑡) + 𝑓2(𝜑(𝑡))𝜑2 ′ (𝑡)]ⅆ𝑡

Jeśli 𝑓 jest polem sił w przestrzeni, to całka skierowana z pola wektorowego 𝑓 po łuku Γ jest rowna

Pracy wykonanej przez pole 𝑓 po drodze Γ

Niech S⊂ ℝ3 będzie powierzchnią ograniczoną konturem Γ. Niech S i Γ mają zgodne orientacje. Jeśli rotacja pola f jest równa 0, to całka z pola wektorowego f po Γ jest równa

0

Przykładem zbioru jednospójnego jest

Zbiór gwiaździsty

Rotacja dywergencji pola wektorowego f

Nie jest określona

Jeśli funkcja 𝑓 = 𝑢 + 𝑖𝑣 jest różniczkowalna, to

𝜕𝑢/𝜕x = 𝜕𝑣/𝜕y i 𝜕𝑢/𝜕𝑦 = − 𝜕𝑣/𝜕𝑥

Dyskretna transformacja Fouriera jest

Odwzorowaniem *liniowym*

Jeśli krzywa Γ ma naturalny opis parametryczny 𝜑, to wektor binormalny w punkcie 𝜑(𝑠) jest równy

Iloczynowi *wektorowemu* wersora stycznego i wersora normalnego

Jeśli zbiór jest gwiaździsty, to jest

Jednospójny

Dyskretna transformata Fouriera ciągu 𝑥 ∈ ℂ𝑁 w punkcie k jest równa

∑^(N-1)_(n=0) 𝑥(𝑛)ⅇ^(− (𝟐𝝅ⅈ / 𝑵) 𝒌𝒏) *(potęga)*

Długość łuku o opisie parametrycznym 𝜑(𝑡) = 𝑡^2(𝑞 − 𝑝), 𝑡 ∈ [0,1],𝑝,𝑞 ∈ ℝ𝑛 wynosi

||𝑞 − 𝑝||

Całka z pola wektorowego f nie zależy od drogi całkowania w obszarze U, jeśli

Dla każdej pary punktów p i q w U całka z pola f po każdej drodze w U z p do q jest taka sama

Orientacja gładkiego płata powierzchniowego jest jednoznacznie wyznaczona przez

Opis parametryczny płata

Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym dotyczy funkcji określonej na zbiorze

*Zwartym* i wypukłym

Jeśli łuk jest kawałkami gładki, to jego długość jest równa

Sumie długości gładkich kawałków

Jeśli X jest przestrzenią Hilberta, to jest

Przestrzenią Banacha

Niech S⊂ ℝ^3 będzie powierzchnią ograniczoną konturem Γ. Niech orientacja S będzie zadana przez ciągłe pole wersorów normalnych n i niech S i Γ mają zgodne orientacje. Wtedy ∬ ⟨rot𝑓(𝑥)|𝑛(𝑥)⟩ⅆ𝑆 𝑆 jest równa

Całce z pola wektorowego *f po Γ*

Pochodna funkcji 𝑓:ℂ → ℂ jest

Funkcją *𝑓′:ℂ → ℂ*

Rotacja pola wektorowego f jest równa

𝑎𝑏𝑙𝑎 × 𝑓

Jeśli łuk Γ ma naturalny opis parametryczny 𝜑, to norma pochodnej wektora binormalnego w punkcie 𝜑(𝑠) jest równa

*Wartości bezwzględnej torsji* łuku Γ w punkcie 𝜑(𝑠)

Przestrzeń Hilberta to

Przestrzeń *z iloczynem skalarnym*, zupełna

Niech 𝑈 ⊂ ℝ2 będzie ograniczony konturem Γ zorientowanym dodatnio i niech f będzie polem wektorowym na U. Wtedy ∬ (𝜕𝑓2 𝜕𝑥1 − 𝜕𝑓1 𝜕𝑥2 ) U ⅆ𝑥1 ⅆ𝑥2 jest równe

*Całce z pola wektorowego f po Γ*

Niech powierzchnia S będzie brzegiem obszaru zwartego 𝑉 ⊂ ℝ3 i niech ma orientację dodatnią. Wtedy całka z pola wektorowego f po S jest równa

∭_V div𝑓(𝑥)ⅆ𝑥1ⅆ𝑥2 *(całka potrójna z div)*

Przestrzenią Hilberta jest

Przestrzeń ciągów rzeczywistych sumowalnych *z kwadratem*

Całka funkcji 𝑓:ℂ → ℂ jest po drodze 𝛾:[𝑎,𝑏] → ℂ jest

Liczbą *zespoloną*

Funkcja 𝑓:ℝ → ℝ ma transformatę Fouriera, jeśli

Jest *całkowalna*

Przestrzenią Banacha jest

ℝ^5 *(cała)*

Całka krzywoliniowa nieskierowana po łuku w ℝ𝑛 jest

Całką *z funkcji* o wartościach skalarnych określonej na ℝ

𝜑(𝑡,𝑠) = 𝑝 + 𝑡(𝑞 − 𝑝) + 𝑠(𝑟 − 𝑝), gdzie (𝑡,𝑠) ∈ [0,1] × [0,1], jest opisem parametrycznym

Równoległoboku

i-ta współrzędna środka geometrycznego łuku Γ jest równa

(∫_𝛤 𝑥𝑖 ⅆ𝑙) / |𝛤| *(całka pojedyncza/ Γ)*

Funkcja 𝜑(𝑡,𝑠) = 𝑝 + 𝑡(𝑞 − 𝑝) + 𝑠(𝑟 − 𝑝), gdzie 𝑡 ∈ [0,1] i 𝑠 ∈ [0,1 − 𝑡], jest opisem parametrycznym

Trójkąta

Całkując funkcję zespoloną 𝑓:ℂ → ℂ po drodze 𝛾:[𝑎,𝑏] → ℂ otrzymasz

Liczbą zespoloną

Część urojona funkcji 𝑓:ℂ → ℂ jest

Funkcją *Re𝑓:ℂ → ℝ*

1/(√2𝛱) ∫_(-∞) ^(+∞) 𝐹(𝑠)ⅇ^(ⅈ𝑠𝑡) ⅆ𝑠 to

*Odwrotna* transformata Fouriera funkcji F *w punkcie t*

Niech S⊂ ℝ^3 będzie powierzchnią ograniczoną konturem Γ. Niech orientacja S będzie zadana przez ciągłe pole wersorów normalnych n i niech S i Γ mają zgodne orientacje. Wtedy całka z pola wektorowego f po Γ jest równa

∬_S ⟨rot𝑓(𝑥)|𝑛(𝑥)⟩ⅆ𝑆 *(rot)*

Twierdzenie Greena wynika z

Twierdzenia Stokesa

Przestrzenią Banacha jest

Przestrzeń *funkcji ciągłych* na [0,1] z normą sup

Całka z pola wektorowego f po płacie zorientowanym S jest równa całce

Po S iloczynu *skalarnego* pola f i pola wersorów *normalnych* do S

Jeśli obszar jest spójny i 𝜕𝑓𝑖/𝜕𝑥𝑗 = 𝜕𝑓𝑗/𝜕𝑥𝑖, to

Pole f jest *potencjalne*

Niech 𝑈 ⊂ ℝ^2 będzie ograniczony konturem Γ zorientowanym dodatnio. Wtedy całka z pola f po Γ jest równa

∬_U (𝜕𝑓2/𝜕𝑥1 − 𝜕𝑓1/𝜕𝑥2 ) ⅆ𝑥1 ⅆ𝑥2 *(całka podwójna z różnicy)*

Jeśli zorientowany płat S zadany jest przez opis parametryczny 𝜑:Ω → ℝ3, to całka Ω z iloczynu mieszanego funkcji 𝑓 ∘ 𝜑 i pochodnych cząstkowych funkcji 𝜑 jest równa

Całce z pola wektorowego f po S

Całka z funkcji 𝑓(𝑥) = 1 po gładkim płacie powierzchniowym S jest równa

*Polu płata* S

Jeśli funkcja 𝑓:ℝ → ℝ jest całkowalna, to

*Ma* transformatę Fouriera

Jeśli łuk Γ ma naturalny opis parametryczny 𝜑, to wartość bezwzględna torsji łuku Γ w punkcie 𝜑(𝑠) jest równa

normie *pochodnej* wektora *binormalnego* w punkcie 𝜑(𝑠)

Wstęga Moebiusa jest

Przykładem powierzchni *nieorientowalnej*

Odwrotna dyskretna transformata Fouriera ciągu ̂x∈ ℂ^𝑁 w punkcie n jest równa:

1/𝑁 ∑^(N-1) _(k=0) ̂x(𝑘)ⅇ^((𝟐𝝅ⅈ/𝑵) 𝒌𝒏) *(1/N, bez minusa)*

Niech f będzie funkcją na ℝ^3 o wartościach rzeczywistych. Wtedy dywergencja gradientu funkcji f jest równa

𝜕^2𝑓/𝜕𝑥^2 + 𝜕^2𝑓/𝜕𝑦^2 + 𝜕^2𝑓/𝜕𝑧^2 *(kwadraty)*

Iloczyn wektorowy wersora stycznego i wersora normalnego jest równy

Wersorowi binormalnemu

Jeśli 𝑓:𝛤 → ℝ oraz 𝑓(𝑥1,𝑥2) = 𝑎 → 0 dla (𝑥1,𝑥2) z łuku Γ, to ∫_𝛤 𝑓(𝑥)ⅆ𝑙 jest równa polu

Prostokąta o bokach a i |Γ|

X jest przestrzenią Banacha

Jeśli X jest przestrzenią Hilberta

Niech S⊂ ℝ^3 będzie powierzchnią ograniczoną konturem Γ. Niech S i Γ mają zgodne orientacje. Wtedy całka z rotacji pola f po S jest równa

Całce z pola *f po Γ*

Całka po płacie S z iloczynu skalarnego pola f i pola wersorów normalnych do S

To całka z pola wektorowego f po płacie zorientowanym S

Jeśli zbiór jest wypukły,

To jest gwiaździsty

Elementem neutralnym dla kołowego splotu ciągów jest ciąg

(1,0,...,0)

⟨𝛻|𝑓⟩ to

*Dywergencja* pola wektorowego f

Iloczyn transformat Fouriera dwóch funkcji jest równy

*Transformacie splotu* tych funkcji

Jeśli całka z pola f po każdym konturze jest równa 0

To pole f jest bezwirowe

Funkcja 𝜑(𝑡) = (cos𝑡, sin𝑡), 𝑡 ∈ [0,2𝛱] jest opisem parametrycznym

Półokręgu

W przestrzeni Hilberta norma spełnia

Warunek *równoległoboku*

Jeśli płat S jest sumą mnogościową płatów S_1 i S_2, to całka z funkcji f po S jest równa

Sumie *algebraicznej* całek z funkcji f po S_1 i po S_2

Jeśli dywergencja pola f jest równa 1, to całka z pola f po powierzchni zamkniętej S będącej brzegiem obszaru V i zorientowanej dodatnio jest równa

Objętości obszaru V

Funkcja 𝜑(𝑡) = (𝑎cos𝑡,𝑏sin𝑡), 𝑡 ∈ [0,2𝛱] jest opisem parametrycznym

Elipsy

Całka powierzchniowa niezorientowana po płacie powierzchniowym S jest

Całką *z funkcji* określonej na S o wartościach w ℝ

Suma transformat dwóch funkcji jest równa

Transformacie *sumy* tych funkcji

Jeśli łuk jest wykresem funkcji 𝑔:[𝑎,𝑏] → ℝ klasy 𝐶^1, to jego długość jest równa

∫_a ^b √(1 + 𝑔′(𝑥)^2) ⅆ𝑥 *(plus 1)*

Zbiór U jest jednospójny wtedy i tylko wtedy, gdy

Każda droga zamknięta w U jest homotopijna z drogą stałą

Jeśli funkcja 𝑓:𝐷 → ℂ jest różniczkowalna w pierścieniu D o środku w 𝑧_0, to

f rozwija się w szereg ∑^(+∞) _(𝑛=−∞) 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧_0)^𝑛

Orientacja płata i orientacja jego brzegu są zgodne, jeśli idąc po brzegu płata w kierunku zadanym przez orientację brzegu i wskazując głową kierunek zadany przez orientację płata, wnętrze płata będziemy mieli

Po lewej stronie

Jeśli dywergencja pola f jest równa 0, to całka z pola f po powierzchni zamkniętej S będącej brzegiem obszaru V i zorientowanej ujemnie jest równa

0

Jeśli pole f jest bezwirowe w obszarze jednospójnym, to

Całka z pola f po konturze jest równa 0

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego zachodzi dla

Powierzchni zamkniętej

Norma spełnia warunek równoległoboku

W każdej przestrzeni Hilberta

1/𝑁 ∑^(N-1) _(k=0) ̂x(𝑘)ⅇ^((2𝜋𝑖/𝑁)𝑘𝑛) jest równe

Odwrotnej dyskretnej transformacie Fouriera ciągu ̂ x∈ C^𝑁 w punkcie n

Jeśli zorientowany płat S zadany jest przez opis parametryczny 𝜑:Ω → ℝ^3, to całka z pola wektorowego f po S jest równa całce

po Ω iloczynu mieszanego funkcji 𝑓 ∘ 𝜑 i pochodnych cząstkowych funkcji 𝜑

Całka z pola wektorowego f po płacie zorientowanym S to

*Strumień* pola f *przez* płat S

Transformata splotu dwóch funkcji jest równa

*Iloczynowi* transformat tych funkcji

Pole gładkiego płata powierzchniowego S będącego wykresem funkcji 𝑔:Ω → ℝ jest równe całce po Ω z

√[1 + (𝜕𝑔 𝜕𝑥)^2 + (𝜕𝑔 𝜕𝑦)^2 ]

Dyskretna transformata sumy dwóch ciągów jest równa

*Sumie* transformat tych ciągów

Pole wektorowe f w obszarze jednospójnym jest potencjalne wtedy i tylko wtedy, gdy

𝜕𝑓𝑖/𝜕𝑥𝑗 = 𝜕𝑓𝑗/𝜕𝑥𝑖

i-ta współrzędna środka geometrycznego łuku Γ jest równa

(∫_𝛤 𝑥𝑖 ⅆ𝑙) / (∫ _𝛤ⅆ𝑙) *(całka pojedyncza/całka)*

Residuum funkcji 𝑓:𝐷 → ℂ w punkcie osobliwym 𝑧_0, to

𝑎_(-1) z szeregu Laurenta ∑_(𝑛=−∞) ^(+∞) 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧0)^𝑛 funkcji f

Homografia przekształca okręgi na

Okręgi lub proste

Pole wektorowe może być

*Rotacją* innego pola wektorowego

Trójkąt o wierzchołkach 𝑝,𝑞,𝑟 ma opis parametryczny

𝜑(𝑡,𝑠) = 𝑝 + 𝑡(𝑞 − 𝑝) + 𝑠(𝑟 − 𝑝), gdzie 𝑡 ∈ [0,1] i 𝑠 ∈ [0,1 − 𝑡]

Dywergencja pola wektorowego

Jest *funkcją* o wartościach *skalarnych*

Praca to

Całka skierowana z pola sił 𝑓 po łuku

Całka krzywoliniowa nieskierowana po łuku w ℝn z sumy funkcji jest równa

*Sumie* całek z tych funkcji

Z pola wektorowego można policzyć

Całkę skierowaną po łuku

Gładki płat powierzchniowy

Ma dokładnie *dwie* orientacje

Funckaj F jest potencjałem pola wektorowego f wtedy i tylko wtedy, gdy

𝛻𝐹 = 𝑓

Przestrzeń funkcji liniowych i ciągłych z przestrzeni Banacha X w ℝ to

Przestrzeń sprzężona do X

Dywergencja rotacji pola wektorowego f

Jest równa 0

Dla powierzchni zamkniętej orientacja dodatnia to

Pole wersorów normalnych skierowane na zewnątrz powierzchni

Obrazem funkcji regularnej z domkniętego podzbioru płaszczyzny o niepustym wnętrzu w przestrzeń ℝ^3 jest

Płat powierzchniowy

Funkcja 𝜑(𝑡) = 𝑝 + 𝑡(𝑞 − 𝑝), 𝑡 ∈ [0,1] jest opisem parametrycznym

Odcinka o końcach 𝑝 i 𝑞

Jeśli krzywa Γ ma naturalny opis parametryczny 𝜑, to ‖𝜑′′(𝑠)‖ jest równa

Jej krzywiźnie w punkcie 𝜑(𝑠)

Całka skierowana z pola wektorowego f po łuku Γ jest równa

Całce nieskierowanej z iloczynu skalarnego pola f i pola wersorów normalnych do Γ

Funkcja 𝑓:𝐷 → ℂ różniczkowalna w zbiorze D rozwija się w szereg ∑^(+∞) _(n=-∞) 𝑎_𝑛 / ((𝑧−𝑧_0 )^n)

Jeśli D jest pierścieniem o środku w 𝑧_0

Jeśli funkcja 𝑓:𝐷 → ℂ jest różniczkowalna w kole D o środku w 𝑧_0, to

f rozwija się w szereg Taylora o środku w 𝑧_0

Jeśli U jest obszarem płaskim ograniczonym konturem Γ zorientowanym ujemnie, to ∫_𝛤 𝑦 ⅆ𝑥 jest równa

Polu obszaru U

Całka z funkcji f określonej na gładkim płacie powierzchniowym S będącym wykresem funkcji 𝑔:Ω → ℝ jest równa całce po Ω z

(𝑥, 𝑦) √ [1 + (𝜕𝑔 𝜕𝑥)^2 + (𝜕𝑔 𝜕𝑦)^2]

Całka skierowana z pola wektorowego f po łuku Γ jest

liczbą

Jeśli całka z pola f po dowolnym konturze w obszarze U jest równa 0, to

Pole f jest bezwirowe w tym obszarze

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Banacha X to

Przestrzeń funkcji liniowych i ciągłych z *X w ℝ*